تمرين الحساب: الأعداد الحقيقية والمقارنة

نعتبر العددين: $a = \left( \frac{1}{2\sqrt{5}} \right)^{-1} + (\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)$ و $b = (1 + \sqrt{5})^2 - 2(2 - \sqrt{5})$.

1) بيّن أن $a = 4 + 2\sqrt{5}$ و $b = 2 + 4\sqrt{5}$.

2) بيّن أن $a^2 - b^2 = -48$ ثم استنتج مقارنة للعددين $a$ و $b$.

3) أ- استنتج مقارنة للعددين $\frac{-3}{2(2 + \sqrt{5})}$ و $\frac{-3}{2(1 + 2\sqrt{5})}$.

ب- استنتج مقارنة للعددين $3\sqrt{5} + \frac{3}{2}$ و $3 + \frac{3\sqrt{5}}{2}$.

4) أ- بيّن أن $\frac{(a - b)^2}{8} = 3 - \sqrt{5}$.

ب- استنتج مقارنة للعددين $10$ و $6\sqrt{5}$.